Les triangles magiques

 

Problème :

On dispose d'un triangle sur lequel sont placées 9 cases, 4 sur chaque côté (3 aux sommets). Il s'agit de placer les nombres de 1 à 9 dans les cases du triangle de telle manière que la somme des nombres dans chaque côté soit la même. On ne peut utiliser plusieurs fois un même nombre.

 

Résolution :

Nommons a, b et c les trois nombres situés aux sommets du triangle. Par hypothèse, a, b et c sont différents. Donc 1+2+3 "plus petit ou égal à" a+b+c "plus petit ou égal à" 7+8+9

Soit S la somme des quatre nombres de chaque côté. 1+2+3...+8+9=45, donc 3S=45+a+b+c (car lorsque qu'on calcule 3S, on compte deux fois chacun des nombres a, b et c situés aux sommets) D'où S=(45+a+b+c)/3

S étant la somme de quatre nombres entiers, c'est aussi un nombre entier. On en déduis que a+b+c est obligatoirement divisible par trois.

Pour a+b+c=1+2+3, on a 3S=45+6, et doncS=17

Pour a+b+c=7+8+9, on a 3S=45+24, et S=23

Donc 17 "plus petit ou égal à" S "plus petit ou égal à" 23

A partir de ces résultats, on se rend compte qu'il suffit de choisir des valeurs de a, b et c telles que a+b+c soit divisible par trois. On place les trois nombres aux sommets du triangle. On cherche la valeur de S, donnée par l'équation S=(45+a+b+c)/3, puis on essaie de compléter les cases vides du triangle.

On trouve finalement 18 solutions "vraiment différentes" :

- 2 avec S=17

- 4 avec S=19

- 6 avec S=20

- 4 avec S=21

- 2 avec S=23

En comptant les rotations, symétries... possibles, on obtient 864 dispositions des nombres différentes qui sont admise comme solution.

A vous de les trouver !