Problèmes plus difficiles...

Attention, les problèmes ne sont pas classés par niveau, et sont de difficulté variable.


1. On a douze pommes. Onze d'entre elles ont exactement le meme poids, mais la douzieme pomme a un poids different des onze autres (plus lourde, plus legere ? on ne sait pas...). Il s'agit d'identifier en moins de 3 pesées, à l'aide d'une balance qui penche d'un cote ou de l'autre, quelle pommme est différente des autres.


2. Une grenouille se trouve devant un escalier de 20 marches. Sachant qu'elle peut gravir soit une, soit deux marches à la fois, combien de solutions possibles y-a-t il pour gravir l'escalier ?

La solution de Victor Pillac


3. Deux cylindres de meme rayon se coupent perpendiculairement. A quoi ressemble la partie commune aux deux cylindres ?

La solution de BJMS


4. A quelles heures les deux aiguilles (heures et minutes) d'une montre sont elles exactement l'une sur l'autre ?

La solution de Corvax Lemaudit


5. J'ai trois fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez. Quand vous aurez mon âge, la somme de nos âges sera de 98 ans.

Quels âges avons-nous ?

La solution de Daniel La Marra

Une variante envoyée par DJDV : Pierre dit à Francois "J'ai deux fois l'âge que tu avais quand j'avais l'âge que tu as. Quand tu auras mon âge la somme de nos âges sera égale à 63".


6. Les concombres sont composés de 99% d'eau. On laisse reposer 500 kg de concombres pendant une nuit.

Le lendemain, les concombres ne contiennent plus que 98% d'eau. Quel est le poids des concombres au matin?

Problème extrait du livre Problèmes pour Mathématiciens, Petits et Grands (chez Cassini) de Paul Halmos

La solution de Joe Lallemand


7. Un cercle définit 2 régions du plan (l'intérieur et l'extérieur). Deux cercles définissent au maximum 4 régions. Trois cercles définissent au maximum 8 régions. Combien de régions, au maximum, sont définies par 4 cercles ? Et par 100 cercles ?


8. Existe t-il un nombre n dont le carré s'écrit sous la forme aabb (c'est à dire un nombre de 4 chiffres dont les deux premiers et les deux derniers sont identiques) ?

La solution a été trouvée par DJDV, Nicolas N, Charp, Joachim Llorca, et Abiniz.

Indice : remarquer que le carré est divisible par 11 et donc que n aussi...


9. Trois personnes vont dans un restaurant et commandent 3 menus à 10 euros. Le garçon encaisse les 30 euros et les donne au patron, qui lui rapelle que pour 3 menus achetés, il y a une réduction de 5 euros. Le garçon doit donc rendre 5 euros aux trois personnes. Pour se simplifier la vie, il rend 1 euro à chaque personne et garde les 2 euros restant.

Chacune des trois personnes a ainsi payé 9 euros, soit au total 27 euros. Avec les 2 euros du garçon, cela fait 29 euros. Ou est passé l'euro manquant ?

La solution de FG


10. Trouver toutes les paires d'entiers naturels tous deux non nuls et distincts telles que la différence des carrés des deux nombres soit égale au cube de leur différence. La paire 55, 45 est un exemple.

Problème proposé par Joachim Llorca

La réponse d'Olivier Bouchard


11. Blanche-Neige, devenue vieille, grosse et laide, en a eu assez de jouer les femmes de ménage pour les sept nains et a décidé d'inverser les rôles. Tous les matins, elle les envoie trimer dans leur mine pour qu'ils lui rapportent des pierres précieuses qu'elle revendra au marché noir.

Tout se passe pour le mieux dans le meilleur des mondes (sauf pour les nains) lorsqu'un jour le miroir magique de la reine, avec qui elle est en meilleurs termes depuis qu'elles n'ont plus à se battre pour savoir qui est la plus belle, lui apprend l'horrible vérité : l'un des nains garde pour lui une partie du minerai qu'il récolte... un dixième des diamants trouvés exactement. Blanche-Neige avait bien remarqué qu'elle gagnait moins d'argent ces derniers temps... mais les pouvoirs du miroir sont hélas insuffisants pour découvrir l'identité du coupable. Blanche-Neige pourrait les surveiller dans leur travail, mais elle voudrait démasquer le coupable d'un seul coup, d'un seul pour que les autres la craignent encore plus.

Pour l'aider la reine lui donne une balance magique, avec laquelle on peut peser nimporte quel objet, aussi lourd et volumineux soit-il, et qui en donne le poids exact. Mais attention, Blanche-Neige, vu les objectifs qu'elle s'ext fixés, n'a droit qu'à UNE SEULE pesée. Tous les matins, les nains vont travailler, et mettent les diamants qu'ils récoltent dans des sacs tous identiques, qu'ils doivent remplir au maximum. Chaque sac contient au maximum un kilo de diamants. A la fin de la journée, chaque nain remonte avec dix sacs. Le voleur, au moment de remplir son sac, glisse discrètement dans une cachette un dixième des diamants récoltés (il ne les garde pas sur lui); ses sacs pèsent donc 900 grammes.

Comment Blanche-Neige, en se servant de la balance, sur laquelle elle peut mettre nimporte quoi, va-t-elle, en une seule pesée, trouver le coupable ? (Elle peut prendre un nain au hasard et lui demander de mettre un de ses sacs sur la balance. Si le sac pèse 900 grammes, le nain est le voleur. Mais elle n'a qu'une chance sur sept de réussir et elle veut un truc qui marche à coup sur).

Problème proposé par Gaetant M

La solution de José. Le problème a également été résolu par R. Andrieux.


12. Il s'agit de trouver un nombre irrationnel ayant une puissance irrationnelle rationnelle.

Problème proposé par MS


13. 20 personnes font la queue à l'entrée d'un cinéma. 10 d'entre elles ont un billet de 10 euros, et les 10 autres ont un billet de 5 euros. Sachant que le ticket d'entrée coute 5 euros et qu'au départ, la caisse est vide, il s'agit de dénombrer le toutes les bonnes files d'attentes possibles.

Problème proposé par JPS


14. Un parfumeur doit mélanger dans un flacon sphérique de 12 cm de diamètre deux liquides : un rouge et un bleu. Il verse d'abord 114 cm3 de liquide bleu, et s'interroge sur la hauteur restante pour le liquide rouge. Quelle est cette hauteur?

Problème proposé par Jérémy Junay


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