Problème du 9 novembre au 6 décembre 2003

 

Sujet :

Que vaut :

 

Bravo à Camus, DJ Dark View, Joachim Llorca, Tom Pascal, JPD, Camille C, Loïc, et Olivier Faure qui ont envoyé la bonne réponse !

 

- Les explications de Camus :

Bonjour à tous...... Alors, l'astuce est de factoriser par les bons facteurs chaque numérateur et dénominateur...

Pour la première fraction:

(2^19+4^11+2^34+2^37) / (2^13+2^16+16^7+2^31)

= 2^13(2^6+2^9+2^13+2^24) / 2^13(1+2^3+2^15+2^18)

= (2^6+2^9+2^13+2^24) / (1+2^3+2^15+2^18)

= 2^6(1+2^3+2^15+2^218) / (1+2^3+2^15+2^218)

= 2^6

Remarque: 16^7=(2^4)^7=2^28 et 4^11=2^22

On a alors racine cubique(2^6)=(2^6)^(1/3)=2^(6/3)=2^2=4

Pour la seconde fraction:

(25^10+5^36) / (5^19+5^35)

= 5^19(5+5^17) / 5^19(1+5^16)

= (5+5^17) / (1+5^16)

= 5(1+5^16) / (1+5^16) = 5

Remarque: 25^10=(5^2)^10=5^20

Le nombre recherché est donc racine carrée( 4 + 5 + 7 ) = racine carrée( 16 ) = 4

 

- Les explications de Tom Pascal :

R représente la racine carré, et R3 la racine cubique.

R ( R3( (2^19+4^11+2^34+2^37) / (2^13+2^16+16^7+2^31) ) + (25^10+5^36) / (5^19+5^35) + 7 )

= R ( R3( (2^19(1+2^3+2^15+2^18)) / (2^13(1+2^3+2^15+2^18)) ) + (5^20+5^36) / (5^19+5^35) + 7 )

= R ( R3(2^6) + (5^20(1+5^16)) / (5^19(1+5^16)) + 7 )

= R ( 2^2 + 5 + 7 )

= R (16)

= 4

 

- Les explications de JPD :

(2^19+4^11+2^34+2^37)/(2^13+2^16+16^7+2^31)

= (2^19+2^22+2^34+2^37)/(2^13+2^16+2^28+2^31)

= 2^6 (25^10+5^36)/(5^19+5^35)

= (5^20+5^36)/(5^19+5^35)

= 5 ((2^6)^(1/3) + 5 + 7)^(1/2)

= (4 + 5 + 7)^(1/2)

= 16^(1/2)

= 4

Le résultat est 4.

 

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