Problème du 9 au 15 juin 2003

 

Sujet :

Anne dit : "Je suis la sixième enfant de ma famille et j'ai au moins autant de frères que de soeurs". Son frère cadet Jean ajoute: "Moi par contre, j'ai au moins deux fois plus de soeurs que de frères".

Combien la famille d'Anne et de Jean compte t-elle de filles et de garçons ?

Bravo à Broutold, Master FG, et DJ Dark View qui ont envoyé la bonne réponse !

 

- Les explications de Broutold (accrochez-vous :-) :

Soit Fr=nb de freres

So=nb de soeurs

Ga et Fi ne sont pas nuls

Ga=nb de gar¨ons

Fi=nb de filles

>= : superieur ou ˇgal

=< : inferieur ou ˇgal

Pour Anne, Fr >= So. Comme Anne est une fille :

==> Fr=Ga et So= Fi-Anne = Fi-1

==> Fr+1 >= So+1

==> Ga+1 >= Fi

Pour Jean, So >= 2xFr.Comme Jean est un garcon :

==> So=Fi et Fr= Ga-Jean = Ga-1

==> So+2 >= 2x(Fr+1)

==> Fi+2 >= 2xGa

ainsi, Ga+1 >= Fi ==> Ga+3 >= Fi+2 et Fi+2 >= 2xGa

==> Ga+3 >= Fi+2 >= 2xGa

==> Ga+3 >= 2xGa

==> Ga =< 3

==> Ga= 1 ou 2 ou 3

or, Anne, 6ème enfant, a au moins un frere cadet (Jean), donc la famille comporte au moins 6+1= 7 enfants.

donc Fi+Ga >= 7

==> Fi >= 7-Ga

==> Fi >= 6 ou 5 ou 4 selon les valeurs de Ga={1,2,3}

comme Ga+1 >= Fi,

==> 1+1 >= 6 ou 2+1 >= 5 ou 3+1 >= 4

          non           non             oui

==> seul Ga=3 et Fi=4 conviennent

Verifions ==> Anne a alors 3 soeurs et 3 freres donc autant de freres que de soeurs. Jean a 4 soeurs et 2 freres donc 2 fois plus de soeurs que de freres. La famille comporte 7 enfants. Ainsi, cette famille est composée de 3 garcons et 4 filles (+les parents :-)

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