Problème du 7 décembre 2003 au 10 janvier 2004

 

Sujet :

Le périmètre d'un triangle est de 95 mm. Son aire est de 380 mm2.

Quel est le rayon de son cercle inscrit ?

 

Bravo à DJ Dark View et Joachim Llorca qui ont envoyé la bonne réponse !

Le périmètre P du triangle est : P=AB+BC+CA

L'aire A du triangle ABC est égale à la somme des aires des triangles AOC, ABO, et BCO.

Soit R le rayon du cercle inscrit, on a R=OK=OI=OJ

Donc :

A=(AB*R)/2+(BC*R)/2+(CA*R)/2

A=(1/2)*R*(AB+BC+CA)

A=(1/2)*R*P

et R=(2*A)/P

c'est-à-dire R=(2*380)/95=8mm.

Joachim Llorca fait remarquer que ce problème se généralise à tous les polygones qui possèdent un cercle inscrit, en particuliers les polygones réguliers. Il y a plus d'informations dans son livre "Morceaux Choisis de Mathématiques" aux éditions Ellipse.

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