Hyperbole et hyperboloide

Une hyperbole est une courbe plane représentative de la fonction y=1/x, ou plus généralement y=(ax+b)/(cx+d).

Le mot hyperbole vient du grec Hyperbolê, hyper = au-dela, et ballein = lancer, jeter au dela de toute limite. De plus, hyperballein signifie aussi excéder, dépasser (hyperbole appparait donc antinomique a ellipse). Les termes sont d'Apollonius de Perge.

L'hyperbole est une des trois coniques, avec la parabole et l'ellipse (dont le cercle peut être considéré comme un cas particulier), découvertes par les mathématiciens grecs en tant qu'intersection d'un plan et d'un cône d'ouverture o, lorsque o est obtu. On retrouve l'hyperbole dans de nombreuses applications : trajectoires de certaines comètes dont la masse et la vitesse ne permettent pas au soleil de les conserver en orbite elliptique, tuyaux sonores, cordes vibrantes (fréquence inversement proportionnelle la longueur), mécanique (transmission par engrenages hyperboliques), optique (miroirs de Fresnel, franges d'interférence...),... et même pour localiser un tremblement de terre !

 

Un hyperboloide (dit de révolution) est un volume engendré par la rotation d'une hyperbole autour de son axe de symétrie.

Il peut être aune ou deux nappes suivant que l'on fait tourner une branche ou deux de l'hyperbole. La surface de l'hyperboloide possede une propriété remarquable : elle est dite réglée car on peut l'obtenir comme enveloppe d'une familles de droites (en fait elle est doublement réglée : engendrée par deux familles distinctes de droites).

Cette remarquable propriété lui confère une structure stable et solide, même à grande hauteur (béton armé précontraint par des fers droits suivant deux directions), lui permettant d'être utilisée dans les centrales nucléaires (tours de refroidissement : hyperboloide de révolution), chateau d'eau...

Avec l'aide du site : Chronomaths