La suite de Fibonacci et le nombre d'or

Leonardo de Pise, surnommé Fibonacci est un mystère de l'histoire des mathématiques. Il serait né vers 1175 et mort en 1240 (?), et aurait vécu toute sa vie à Pise. Il a publié un unique livre, Liber Abaci (une œuvre collective ?).

Fibonacci est resté célèbre pour l'exemple suivant, publié dans son livre :

On dispose d'un couple de lapins fertiles. Un couple produit à la fin de chaque mois un nouveau couple, et tout nouveau couple est productif à partir du deuxième mois. On suppose que les lapins ne meurent jamais.

Voici les résultat qu'on trouve :

Nombre de mois
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Nombre de couples de lapins
0
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
144
233

 

Le tableau correspond à ce qu'on appelle la suite des nombres de Fibonacci.

On note Fn le nombre de couples de lapins au mois n.

F(n) = nombre de couples au mois ( n-1) + nombre de couples nés au mois n

= nombre de couples au mois ( n-1) + nombre de couples productifs au mois (n-1)

= nombre de couples au mois ( n-1) + nombre de couples nés au mois (n-2)

F(n) = F(n-1) + F(n-2)

L'une des propriétés de la suite est que si l'on prend deux termes successifs, et qu'on divise le plus grand par le plus petit, on obtient un nombre voisin du nombre d'or.

Notons N le nombre d'or.

N = ( 1 + racine de 5 ) / 2 = 1,618033989...

Plus les deux nombres successifs choisis sont grand, plus leur rapport est proche du nombre d'or.

Par exemple :

34 / 21 = 1,619047619...

233 / 144 = 1,618055556...

La suite F(n) / F(n-1) converge vers le nombre d'or.

 

Le nombre d'or a de nombreuses propriétés, autant en algèbre, qu'en géométrie.

Par exemple :

Le nombre d'or est le nombre positif qui admet :

N^2 = N + 1

Demontrons qu'il y a un seul nombre positif tel que x^2 = x+1:

x^2 = x + 1

x^2 - x - 1 = 0

(x-1/2)^2 - 1/4 - 1 = 0

(x-1/2)^2 = 5/4

Donc x^2 = x + 1 admet deux solutions :

x = ( 1 + racine de 5 ) / 2 et

x = - ( 1 + racine de 5 ) / 2

mais une seule des deux est positive :

x = ( 1 + racine de 5 ) / 2

On a aussi :

N=1+1/(1+1/(1+1/(1+....))) (fraction continue infinie) d'ou N = 1+ 1 / N

En géométrie, le nombre d'or, c'est par exemple le rapport entre la diagonale et un coté d'un pentagone régulier.