0,999999... = 1

 

Le nombre que l'on note 0,9999999... est le nombre qui se termine par une infinité de 9.

Et est-ce que 0,9999999...=1? Oui!

Même s'ils ne sont pas très rigoureux, voici trois arguments simples qui ont pour seul but de vous en convaincre.


Utilisons le fait que (10x - x) / 9 = x avec x = 0,9999999....

0,999999... x 10 = 9,9999999... (il suffit de déplacer la virgule d'un cran)

9,999999... - 0,9999999... = 9

9 / 9 = 1

Donc 0,999999.... = 1


1/3 = 0.33333333333333333333...

0.99999999999.../3 = 0,33333333333333333...

0.33333333333333333333... = 0.33333333333333333333...

Donc 1 = 0.999999999999999999....


Un autre raisonnement consiste à dire que deux nombres sont pas égaux si (et seulement si) leur différence est nulle.

Or, 1-0,999999...=0,000000000.... et le 1 n'arrive jamais !


Une démarche plus rigoureuse serait de partir de la définition de 0,999999...

En écrivant 0,999999...=0,9+0,09+0,009+0,0009+... on définit une série géométrique.

Cette somme est égale à 1.